V - Dérivée et monotonie Zéros de la dérivée 5 De même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante. cosh est de classe C ∞ sur ℝ et sa dérivée est le sinus hyperbolique. par . Fonctions strictement croissantes On dit qu’une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f, si on a x < y, on a aussi f(x) < f(y). Or f 0(x) ˘1 ce qui signifie que les extrema de f n’annulent pas la dérivée de la fonction. Sa restriction à ℝ + est une bijection à valeurs dans [1, +∞[ dont l'application réciproque est l' argument cosinus hyperbolique . Lien entre signe de la dérivée et variations Propriété Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle . Si pour tout réel dans l’intervalle , on a : • ′ >0 alors est strictement croissante sur l’intervalle . La concavité d'une fonction implique sa quasi-concavité La réciproque n'est pas vraie ! En déduire le signe de . • f 1 étant une fonction polynôme est dérivable sur R. Pour tout réel x : … En effet ce ne sont pas des points intérieurs de l’intervalle et la … Soit f une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle I. Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ′ la fonction dérivée de f. Si f ′ est strictement positive sur I, sauf pour un nombre fini de réels où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I. Alors g fest quasi-concave. 2. Donc f est strictement croissante sur I. • ′ <0 alors est strictement décroissante sur l’intervalle . 3 ahanine Fonction strictement croissante de dérivée nulle 05-04-09 à 14:52 Salut otto je pense qu'il faut ajouter la conition d'absolument continuité de la fonction f pour avoir la relation qui vous citer (voir l'ouvrage de V.I.Bogachev measure theory volume I) ok. La fonction cube est strictement croissante sur ℝ et n'admet pas d'extremum en 0. Soit f 1 la fonction définie sur IR par f 1(x) = x3 + x. • D'après le théorème 1, pour tout x de I, on a f’(x) ≥ 0. Solution: Puisque la fonction f (x) ˘x est strictement croissante, le minimum de f est donné par f (0) ˘0 et le maximum par f (1) ˘1. Question 1: On considère la fonction définie sur . Aucun zéro. La fonction . Correction de l’exercice 2 sur la fonction dérivée. Sens de variation et extremum de fonctions I) Sens de variation d’une fonction 1) Fonction croissante. Question 3: Montrer que, pour tout . cosh — ou ch — est une application de ℝ dans [1, +∞[strictement croissante sur ℝ +, et paire. Question 2: Vérifier que . En langage plus formel, ca donne ∀x,y ∈ DD(f),x < y ⇒ f(x) < f(y). est strictement croissante sur . Considérons la fonction cube définie sur ℝ par f ⁡ x = x 3 qui a pour dérivée la fonction f ′ définie sur ℝ par f ′ ⁡ x = 3 ⁢ x 2. f ′ ⁡ x 0 = 0 et, pour tout réel x non nul, f ′ ⁡ x 0 > 0. Soit fune fonction quasi-concave, gune fonction monotone strictement croissante. Fonction décroissante Une fonction est croissante : Lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées : ; augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses. • f 1 est la somme des fonctions x 6 x et x 6 x3 strictement croissantes sur R f 1 est donc strictement croissante sur R . Exemple La fonction cube x 7→x3 est strictement croissante… Si une fonction n'est pas concave, elle peut-être quasi-concave, mais ce n'est pas nécessaire. sur . Montrer que la fonction .